Olasılık ve küçük sayılar kanunu

Prof. Dr. Doğan Kökdemir*

İstatistik ve olasılık temelde çok basit yasalara sahip. Büyük Sayılar Kanunu, bunlardan sadece birisi. Bu kanuna göre, herhangi araştırma evreninden (populasyon), evrene yakın büyüklükte bir örneklem alırsanız, bu örneklemin istatistiksel değerleri evrenin istatistiksel değerlerine yakın olacaktır. Diğer bir ifadeyle, ne kadar çok ve geniş bir gözlem yapabilirseniz, evrenin karakteristik özellikleri hakkında o kadar çok bilgiye sahip olursunuz.

Örneğin, “Bu Pazar seçim olsa kime oy verirdiniz?” gibi bir soruya, Türkiye’de yaşayan seçmenlerin yaklaşık yüzde 1’ini, yüzde 20’sini ya da yüzde 50’sini kapsayan üç farklı araştırma raporunun cevabı olduğunu düşünün (tabii ki bu araştırmaların, yöntemsel herhangi bir sorun içermediğini varsayıyoruz). Çok doğal olarak, seçmenlerin yüzde 50’sini kapsayan araştırmanın sonuçlarına, yüzde 1’ini kapsayandan ve yüzde 20’sini kapsayandan daha çok güveneceksinizdir. Bu güveninizde haklısınız da. (Gerçekten böyle bir çalışma yapılabilirse seçimin sonucunu şimdiden ilan edebilirsiniz.)

Soruyu değiştirelim. Diyelim ki, hilesiz olduğu fiziksel ölçümlerle garantilenmiş bir madeni parayı, robotik bir el yardımıyla hızlıca havaya atıyorsunuz ve yere düştüğünde (Y)azı ve (T)ura geldiğini durumları bir kâğıda not alıyorsunuz. Sizce aşağıdaki arka arkaya 10 atıştan hangisi gerçekten bu robotik kol tarafından gerçekleştirilmiş olabilir; hangisini ya da hangilerini, okuduğunuz bu yazıyı yazarken ben uydurdum?

Y Y Y Y Y Y Y Y T Y
Y T Y T Y T Y T Y T
Y Y T Y T Y T T T Y
T T T T T T T T T T

Tahminen 2. ve 4. seçeneği hemen elemiş olmalısınız. Her ikisi de “yapay” görünüyor. Hilesiz bir paranın, ilk 10 atışta her seferinde tura gelmesi de, “insan eliyle yapılmış gibi” sırasıyla bir kez tura, bir kez yazı gelmesi de size çok gerçekçi gelmemiş olmalı. Geriye 1. ve 3. şeçenekler kalıyor. 1. seçenek her ne kadar bir sıralama içermese de, herhangi bir paranın yazı ya da tura gelme olasılığının her iki durum için de ½ (yüzde 50) olduğunu bilen bizler için 9/10 yazı ve 1/10 tura gelmiş olması çok akla yatkın gelmiyor. Sanki 3. seçenek ideal cevap gibi: Hem %50 - %50 yazı-tura oranına sahip ve hem de herhangi bir “yapay” sıralama içermiyor. Robotik kol için cevap 3. seçenek olmalı; diğerleri benim tarafımdan uydurulmuş gibi görünüyor.

Güveninizi sarsma tehlikesini alarak tüm seçeneklerin benim tarafımdan uydurulduğunu söylemek zorundayım. Ortada robotik bir kol olmasını bırakın, hileli ya da hilesiz bir para dahi yok. Seçeneklerin tamamı “yapay.” Tversky ve Kahneman’ın (1971), Küçük Sayılar Kanunu dediği bir durumun içerisindeyiz. Küçük Sayılar Kanunu, aslında istatiksel bir kanun değil, Büyük Sayılar Kanununa gönderme. Küçük Sayılar Kanunu, insanların bir yanılgısını ortaya koyuyor: Eğer evren hakkında doğruluğuna inandığımız bir özellik varsa, bu konu ile ilgili ölçüm yaptığımız örneklem küçük ve yetersiz olsa bile aynı örüntüyü (pattern) göreceğimize inanıyoruz. Madem ki yazı ya da tura gelme olasılığı ½’dir, o zaman 4 kere ölçüm alsam da, 40 kere ölçüm alsam da, 400,000 kere ölçüm alsam da sonuç değişmeyecektir. Yazı gelen atışların sayısı, sırasıyla 2, 20 ve 200,000 olacaktır. Bu, oldukça yanlış bir varsayım. Yazı ya da tura gelmesinin olasılığının ½ olması, sonsuz sayıda gözlem söz konusu olduğunda gerçekleşebilecek bir orandır. Tabii ki, örneğin, 400,000 gibi çok büyük bir sayıda gözlem yaptığınızda bu oran ½’ye çok yaklaşacaktır ama aynı yaklaşmayı 4 ya da 40 denemede göremeyebiliriz (muhtemelen göremeyiz; deneyebilirsiniz). Kısacası insanların, zihinlerinde bir evren modeli varsa, bununla ilgili rasyonel ve/veya matematiksel kanıtlara da sahiplerse, gözlemleri yetersiz olsa bile aynı sonuca ulaşacaklarını sanmaktadırlar. Aslında bu yanlılık, emin olmadıkları konular için de geçerli. Sadece sınırlı sayıda gözlemden yola çıkarak gerçekten çok büyük genellemelere ulaşmaları mümkün. “X şehrinde doğan insanlarla anlaşamıyorum”, bu inancın tipik örneklerindendir. Bu argümana ulaşmak için yapılan gözlem sayısının çok küçük olduğunu tahmin etmek zor değil. Hatta sadece bir vakadan bile ibaret olabilir (n = 1).

Binlerce yıldır okur-yazarlık denildiğinde, klasik anlamda sembollerin (harflerin) okunabilmesinden ve yazılabilmesinden bahsediliyor. Bu, çok doğal olarak dilin paylaşımı ve düşüncenin aktarımı açısından insanın belki de en büyük keşfi ve/veya becerisi olarak tanımlanabilir. Günümüzde, bir okur-yazarlık daha önem kazandı; o da bilgisayar okur-yazarlığı. Artık hemen hemen her türlü işin ve görevin bilgisayar teknolojileri ile yapıldığı bir yüzyılda bu okur-yazarlığın kişilere sadece avantaj sağlamadığını artık bir gereklik olduğunu söylemek yanlış olmayacaktır. Zamansal olarak ikisi arasında (hatta klasik okur-yazarlığa daha yakın) bir beceri var ki, o da istatistik/olasılık okur yazarlığı. Maalesef bu çok önemli bir konu olmasına ve artık bir gereklilik statüsüne ulaşmasına rağmen sanki üzerinde çok konuşulmayan bir beceri durumunda. Ancak en az diğer ikisi kadar önemli ve yaşamsal.

*Başkent Üniversitesi, Fen- Edebiyat Fakültesi, Psikoloji Bölümü

Kaynakça: Tversky, A. ve Kahneman, D. (1971). Belief in the law of small numbers. Psychological Bulletin, 76, 105–110.