Evrenin en temel kuralı: En az eylem prensibi

Tek bir kural düşünün. Klasik mekanikten elektrodinamiğe, kuantum fiziğinden genel göreliliğe kadar evreni tek bir çerçevede açıklayabilsin. İlk bakışta imkânsız gibi görünür ama doğa, karmaşık görünen olayların ardında aslında basit ve evrensel ilkeler barındırıyor. Bazen bu ilkeleri keşfetmek için çok basit sorular sormak gerekir. “Bir top hangi yolu izlerse hedefe en kısa sürede ulaşır?” sorusu, tarihin en derin fizik yasalarından birine açılan kapı oldu.

EN KISA ZAMAN

17. yüzyılda Galileo Galilei, serbest düşme ve eğik düzlem deneyleriyle modern fiziğin temellerini atarken şunu merak etti: Yüksekteki A noktasından bırakılan bir top aşağıdaki B noktasına hangi yüzey boyunca kayarsa en hızlı biçimde varır?

Sezgisi, bunun bir daire yayı olması gerektiğini söylüyordu. Çünkü dairesel yol, hem eğim kazandırıyor hem de hız artışı sağlıyordu. Böylece top düz bir yüzeyde harekete kıyasla daha kısa sürede B noktasına varıyordu.  Ama Galileo yanılıyordu. Aradan yarım yüzyıl geçti. Johann Bernoulli, bu soruyu yeniden gündeme getirdi ve zamanın Newton, Leibniz gibi en parlak zihinlerine meydan okudu: “Bir topu yerçekimi altında en kısa sürede A noktasından B’ye indiren eğri nedir?”. Yunanca "brachisto" (en kısa) ve "chrone" (zaman) kelimelerinden gelen Brachistochrone eğrisi ne daire ne de başka bir basit eğriydi. Problemin çözümü bir sikloitti (cycloid). Yani yerde yuvarlanan bir çemberin kenarındaki bir noktanın izlediği eğriydi bu. Sikloit yolu, düz çizgiden daha uzun olmasına rağmen bilye hedefe en kısa sürede ulaşıyordu. Bu eğrinin ilginç bir özelliği daha vardı: Bilyeyi hangi noktadan bırakırsanız bırakın, aynı sürede tabana ulaşıyordu. Bu yüzden ona Tautochrone eğrisi (aynı zaman eğrisi) adı da verildi. Tıpkı bir saat sarkacının ritmini koruması gibi, bu eğri mekanik saatlerin tasarımında kullanıldı.

Ama asıl hikâye, ışığın yolculuğuyla başlıyor. Antik Yunanlılar, ışığın bir noktadan diğerine nasıl gittiğini merak ediyordu. O dönemden beri ışığın kırılması olayı gizemliydi: Neden hava içinden suya geçerken yolunu değiştiriyordu? Snell yasası bu olguyu matematiksel olarak açıklasa da “neden” sorusuna cevap vermiyordu. 1657’de Pierre de Fermat devreye girdi. Belki ışık mesafeyi değil, zamanı minimize ediyordur. Yani doğa, ışığın yolunu seçerken her zaman en kısa zamanı gözetiyordu. Örneğin bir cankurtaranı düşünün. Kumsalda koşarken hızlıdır, ama suda yüzerken yavaştır. Suda boğulanı kurtarmak için dümdüz ona doğru koşmaz, biraz yan taraftan koşup suda daha az mesafe kat etmek ister. Böylece boğulana en hızlı şekilde ulaşır. Işık da öyledir. Suda yavaşladığı için, suda daha kısa yol alır ve kırılır. Fermat’ın prensibi aynı zamanda yansıma yasasını da açıklıyordu: Işık en kısa zaman yolunu seçtiği için yansıma açıları eşit olur. Fermat’nın bu sezgisi, doğanın optimize eden bir yapıya sahip olduğunu ilk kez açıkça göstermişti. Brachistochrone problemi, işte bu Fermat prensibinin mekanik bir yansımasıydı. Bernoulli de zaten çözümünü Fermat’nın fikirleri üzerinden kurmuştu. Işığın farklı yoğunluktaki ortamlarda izlediği yollar ile yerçekimi etkisiyle hızlanan bir bilyenin yolu arasında derin bir benzerlik vardı. Bu, doğanın aynı mantığı farklı alanlarda kullandığını gösteriyordu.

1740’larda sahneye Pierre-Louis de Maupertuis çıktı. Onun sorusu daha da iddialıydı: Ya doğa yalnızca ışıkta ya da mekanikte değil, her şeyde bir niceliği optimize ediyorsa? Maupertuis bu niceliğe “eylem” adını verdi. Eylem, kütle, hız ve yolun çarpımına eşitti  ve doğa bunu mümkün olduğunca küçük yapmaya çalışıyordu. Ona göre doğa, olayların gerçekleşmesi için gereken gerçek harcamayı minimize ediyordu. Bu fikir, Tanrı’nın evreni ekonomik yarattığının kanıtı olarak görüldü, ama şiddetli itirazlar aldı; Voltaire ‘Doğa tembel mi?’ diye dalga geçse de, matematiğin devlerinden Leonhard Euler bu fikri ciddiye aldı.

Ay’ın Dünya etrafındaki yörüngesini düşünün. Ay’ın hareket ettiği yörünge üzerindeki iki nokta arasında sonsuz yol var. Euler, iki koşul koydu: Enerji korunur ve olası yollar arasında enerji sabittir. Böylece eylemi minimize etmek, Newton’un yasalarına uyuyordu. Euler, Maupertuis’in prensibi matematiksel olarak güçlendirdi. Ardından Joseph-Louis Lagrange sahneye çıktı. Maupertuis’in ölümünden yalnızca beş yıl sonra, “eylemin en küçük olması” fikrine genel bir matematiksel ispat getirdi. Ona göre doğa, kinetik enerji ile potansiyel enerji farkının zamana göre integralini minimize ediyordu. Böylece en az eylem prensibi, sağlam bir matematiksel temele oturdu. 19. yüzyılda William Rowan Hamilton bu fikri yeniden formüle etti. Artık biliyorduk ki en az eylem prensibi, Newton’un ünlü F=ma yasasıyla tamamen eşdeğerdi. Ama Hamilton’un formülasyonu daha güçlüydü. Çünkü Newton’un yasaları yalnızca tek tek parçacıkların kuvvetlerini hesaplarken, Hamilton’un yaklaşımı çok daha karmaşık sistemleri çözmek için genel bir araç sunuyordu. Euler–Lagrange denklemleri, mekanik problemleri çözmenin en etkili yolu haline geldi.

TÜM OLASI YOLLAR

Kuantum mekaniği en az eylem yasası için yeni kapılar açtı ve  Richard Feynman, 20. yüzyılda bu prensibi bambaşka bir boyuta taşıdı. Ona göre parçacıklar bir noktadan diğerine giderken yalnızca “en az eylem yolunu” değil, tüm olası yolları deniyordu. Ama bu yolların her biri farklı fazlarla katkı yapıyor ve girişim deseninde yalnızca eylemin minimize olduğu yol baskın hale geliyordu. Bu fikir, “Feynman yol integrali” olarak bilinir. Çift yarık deneyinde gördüğümüz gizemli desenler de bu bakış açısıyla açıklanır: Elektron, aslında bütün olası rotaları “yoklar”, ama sonunda en az eylem prensibine uyan yol galip gelir. Böylece klasik mekanikteki güzellik, kuantum dünyasında da devam eder.

Bu prensip öyle güçlüdür ki, kısa süre sonra fiziğin her alanında kendine yer buldu. Işığın yansımasından gezegenlerin yörüngelerine, sarkacın salınımından elektrik ve manyetizma yasalarına kadar her şey tek bir cümleyle özetleyebiliyoruz: Doğa, eylemi minimize eder. Fizik dilinde bu “Eylemin varyasyonu sıfırdır” diye yazılır. Basitçe söylemek gerekirse, evren olası yollar arasından en verimli olanı seçer.

Biz de önümüzde sayısız yol olduğunu görürüz. Kimisi daha kısa, kimisi daha kolay, kimisi daha zahmetlidir. Ama doğanın bize öğrettiği şey şudur: Önemli olan mesafe değil, zamanı ve enerjiyi nasıl kullandığımızdır. Brachistochrone eğrisi, en az eylem prensibi ve kuantumun sonsuz ihtimalleri bize aynı şeyi fısıldıyor. Evren, karmaşanın içinde en verimli yolu bulur. Hayat da böyle değil mi!